Chapter 9 方差

关于小样本的一点额外知识

考试不会考，了解即可

样本方差 是总体方差 的无偏估计，但是标准差不无偏。

结论：正态分布的总体，样本的极差 （range）的分布的均值是方差的某个倍数即 ，标准差也是方差的某个倍数即 。于是， 就是 的无偏估计。样本很小的时候，用 代替 不如用 代替 。样本大的时候，用 更好。

关于卡方分布的方差

方差的置信区间

根据第六章的知识点， 是服从卡方分布的。所以方差的置信区间应当是 。注意卡方分布的图像不是对称的！所以左右两边 的位置也不一样。所以在上述式子当中，用到了俩，式子左边是 ，右边是 ；标准差的区间就是开个根号。

图的左边是 ，右边是 ，跟式子反过来了。反过来是因为推导区间的时候涉及到了减法和移项。

比较 跟某个值 的大小关系

因为不是对称的，所以这个表格不太好记忆。据说考试的时候是不要求记忆的，会给。

原假设是 ， 是题目给出来，让检验的， 是真实的方差。真实的方差会影响到样本的 。

这个表格其实跟前面的也基本一样，也是前两个单边的用 第三个双边用 ，且其中 ：

关于 F 分布的方差

比较两个总体方差的大小关系

这里要使用 F 分布的知识：，回顾一下，F 分布实质上就是卡方分布除以各自的自由度。如果两个总体的方差相等，那么 F 分布的表达式就可以化简成这种简单的形式。如果方差不相等，那就是 。所以这里为了让式子简单一些，三行表格的原假设全都是 .

注意为了方便计算和查表，要让 ，也就是分子用大的，分母用小的。这个表格其实跟前面的也基本一样，也是前两个是单边用 第三个是双边用 。

跟前面的不同点在于，第三行只有一个条件而不是两个。可以这样理解：因为 F 分布本身的表达式就已经涉及到俩了。

两个总体方差的比值的置信区间

两个总体方差不相等的时候，F 分布表达式稍微复杂：， 的置信区间是 。