Lecture 11. Introduction to Space Complexity 空间复杂性引入
定义 。若图灵机 一定停机，且对于长度为 的输入，至多使用 个纸带的格子，那么就意味着图灵机 runs in space 。若非确定性图灵机 的所有分支都必定停机，且对于长度为 的输入，每个分支都至多使用 个纸带的格子，那么 也是 runs in space 的。
定义：
- .
- .
- .
- .
时间复杂性强调了单带，这里空间复杂性没有。
这里空间复杂性并不是指的额外空间占用，而是总共的空间占用。那么问题来了， 等亚线性是什么情况？亚线性空间的都是使用两个纸带的模型。一个纸带是输入的，只读；另一个纸带随便。
时空复杂性的关系
定理：对于所有的 ，都有 。
证明：runs in steps 的图灵机，不可能使用超过 个纸带格子。反之，能使用 个纸带格子的图灵机，至少需要运行 步，但也不能消耗超过 的时间（假设不死循环， 代表格局的数量）
推论：。但是注意 的不一定在 中。
定理：。但是注意 的不一定在 中。
证明：只需先证明出：
- 。
- 归约，若 且 ，那么就能推出
定义：。。
，。
。
但是目前学术界不知道，是否 ，或者是否 。
通常认为的关系是：
事实上，以后还将指出：。
TQBF 问题
量词（quantifier） 包括 和 。
定义 quantified Boolean formula（QBF）表示开头具有 或 修饰的布尔式子。所有布尔变量都在作用域 scope 内。有的 QBF 是真的，有的是假的。
- 真
- 假
定义问题 。根据定义，刚刚两个式子：
不难发现， 问题就是仅含有 的 问题。
定理：。
证明：设计一个图灵机 。 "On input :"
- 若 不具有量词，那么 就不含变量。所以 的形式就是 或 。直接输出
- 若形式是 ，那么分别令 和 ，递归地计算 。若任意一个计算接受了，就接受。否则就拒绝。
- 若形式是 ，那么分别令 和 ，递归地计算 。若两个计算都接受了，就接受。否则就拒绝。"
接下来分析这个的空间占用。
每一层的递归，都要消耗常数级别的空间来记录 的值。而递归的深度，不会超过量词的个数，于是也就不会超过 。故，。
Ladder 问题
ladder 是指，一堆由长度相等的字符串（而不是字符）构成的数组（序列），且每一个相邻的字符串，仅有一个字符不同。（有点像格雷码呢）
比如，这个 WORK 到 PLAY 的序列就是一个 ladder：
A word ladder for English is a ladded of English words.
Let be a language, a ladder in is a ladder of strings in .
定义： 。
定理：
证明思路比较简单：（注意图灵机无法存储序列，且必须停机）。
该非确定性图灵机 "对于输入 :"
- 若 直接拒绝
- 令 ，令
- 重复以下步骤至多 次：
- 非确定性的修改 当中的一个符号
- 若修改后的 则直接拒绝
- 若修改后的 则接受
- 如果已经运行了 步还没有接受，那么也拒绝。"
这台图灵机虽然步骤 3 消耗的时间达到了指数级别，但是它的额外空间占用始终是线性级别（存储当前串串 和运行上限次数 ）的。故 .
定理：
考虑一个简化的问题：。
构造图灵机： "对于输入 ，
- 令
- 对于 的情况，若 且 的编辑距离在 以内，则接受，否则决绝
- 对于 的情况，对于每个 中长度为 的串串 ，重复以下步骤（枚举语言中所有指定长度的串串）：
- 递归地检查：是否能 且 （二分）
- 若两边的调用都接受了，就接受，否则继续
- 拒绝（所有检查都失败了）"
那么，对于 的判定，就可以转化为 ，其中 。
空间分析：每一层消耗 的空间来记录单词（选择的 是谁），递归总共 层，故空间复杂度是 。