slide 17: Transfinite Cardinals 超限势

上一讲提到，集合，，的势都是。当然，并不是所有的无限集，势都是。

实数集的势

康托尔证明了，实数集是不可数的，即。

要证明，只需证明：

设，假设是可数集，那么，必须有枚举排列的元素的的方法存在才行。但是，并不存在这种枚举法，因为：假如有了一个数字，只要把每一位都加上 1，就可以得到一个新的数字。你并不知道这个新数字的顺序应该是什么……

故，不可数。第一条证明完毕。接下来证明第二条。

和是双射的话，他们俩就是等势的。恰好在上能构成双射。第二条证明完毕。

康托尔使用的证明方法，叫做对角线证明法 diagonalization。这种方法已经成为非枚举领域证明的基操。

连续统，是指连续不断的数集。如，实数集的一个子集。

连续统的势，顾名思义。通常写作，哥特体的小写字母 c。

任何集合的势，都严格小于其幂集的势。即：。证明略。

因此，数列递增。

这玩意儿叫做超限数，transfinite number，也简写为 transfinites。

先试着证明一下。

简化问题，不考虑实数集的势，考虑的所有实数构成的集合的势。任意取出一个数字，用二进制来表示，如。

创建一个空的集合，若是则将插入集合中去。最终，是自然数集幂集的一个元素，即。

故，任意一个范围内的实数，都有一个与之对应的是自然数集幂集的元素。因此，内所有实数构成的集合，与自然数集幂集构成双射。

结论得证。

比自然数集基数大的集合中，基数最小的集合是实数集，即：和中间，不存在超限数。