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Lecture 6. Undecidability 不可判定性 ​

函数知识回顾（CS172 笔记摘录） ​

函数的定义域，值域，像，到达域（domain，range，image，codomain） ​

  • 定义域：略
  • 值域：略
  • 像：是值域的一个子集，这个子集包含由函数 映射来的一些元素。注意像并不是函数的值。函数的值是值域当中的某个元素，而函数的像是至于当中的某个子集。
  • 到达域，又称对应域，与值域不同。值域是到达域的一个子集。满射函数的值域与到达域是相等的。

函数的单射，满射，双射（injective，surjective，bijective） ​

  • 单射，是指，像中的每一个元素，都是由定义域中唯一的一个元素映射来的：
  • 满射，是指，像中的每一个元素，都能被定义域中的元素映射得到：
  • 双射，是指，既是单射，又是满射。即双射的两个集合，元素个数一定相等。
  • 在 CS355FZ 当中，有时候说 单射是 one to one，满射是 onto，双射 correspondence。

偏函数（partial function） ​

大概就是，定义域当中有的元素没有映射出去。

如果进一步限制约束偏函数的定义域，那么就会变成 total function（翻译过来可能是全函数）

比如，阶乘函数 的定义域如果是整数集，那么它就是一个偏函数，因为 不知道。

无限集的大小 ​

定义：当集合 和集合 之间存在一个双射关系 ，则称集合 和集合 具有相同规模（same size）。非形式化的讲，就是可以将两个集合当中的元素两两配对。

自然数集 ，整数集 。这两个集合之间存在双射，因为存在函数：

定义：与自然数集 之间存在双射关系的函数，以及所有的有限集，称为可数集。所以整数集 是 可数（countable） 的。

更大的无限集？（摘自 CS172 笔记） ​

注意 CS172 当中的集合 是包含 的，不过影响不大。

考虑集合 。

这个集合，铺成正方形，每一行每一列都是无限个…但是如果从左上角开始，斜着计数，就可以列出这种形式：…看起来依然是可以数出来的吼

那么如何计算这个集合 的势？

不妨定义函数 。由于 和 都是质数，由唯一分解定理得知， 是双射的，即每个 都能通过 映射到某个整数，而那个整数也只能分解成 的形式。于是， 就与 的一个无限子集建立了双射关系。而 的无限子集的势也是 。故， 的势还是 ，这个集合是可数集。

扩展一步，如果是 ，甚至是更多维数，依然是可数的。二维的，用前两个质数，三维的就用前三个， 维的就用前 个质数，就好了。比如， 就可以映射到 。

再拓展一下，对于有理数集 以及正有理数集 ，也都是可数集。因为有理数 可以与 双射，这就回到了刚才的二维问题。

对角化方法 ​

CS355 的课本当中，给出了另一种证明集合 可数的方法：从左上角开始，画一条斜着的线，不断地把这条线往右下方移动。每次碰到线的数字，都加入集合当中（忽略约分后已存在的数字）。这样，每划到一个有理数，就增加一个计数器，而计数器的值是整数，所以正有理数集也是可数的。

注意英文单词对角线：diagonal。如果考试考了，要记得拼写。

事实上可以把这种对角化方法想象成二维坐标系。分子分母分别是横纵坐标。

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然而，实数集 不是可数集。

用对角化方法证明： 不可数 ​

首先假设 可数，那么就一定存在一个 的双射关系。

假设 的前几项如下表：

只要我能够找到一个实数 一定不在这个 的表格里面，就能够证明 不可数了。这个 很好找。

  • 对于 ，小数点后第 位数字是 ，那我就令 的小数点后第 位数字不是
  • 对于 ，小数点后第 位数字是 ，那我就令 的小数点后第 位数字不是
  • 对于 ，小数点后第 位数字是 ，那我就令 的小数点后第 位数字不是
  • …
  • 那么，对于 ，不管 取值是多少，我都让 的第 位与 不同，那么这个 就一定不会在这个表格里面。所以，这个 无法与 的某个元素双射。于是， 不可数。

推论 ​

  • 令 表示所有的语言，那么 不可数。因为 与 等势。回顾：语言是 当中的一个元素，即 的每一个子集都是一个语言。用一个无限长的二进制串表示 当中的第 个元素是否包含在这个语言（子集）当中。那么这些二进制串就与语言形成双射。像之前证明 不可数一样（小数点后有无限个数字），同理可以证明 。不过， 是可数的。因为 ，所以 。
  • 令 表示所有的图灵机，那么 是可数的。因为 。而 是可数的，所以它的子集也是可数的。至于说为什么 可数，是因为 ，能一个一个的列出来，所以是可数集。
  • 存在不可判定的语言。因为语言比图灵机多（因为 ）。

用对角化方法证明：语言 不可判定 ​

用反证法。先假设 是可判定的，也就是存在一台判定器 判定它：$$H(\langle M, w\rangle)= \begin{cases}\text {接受} & \text { 若 } M \text { 接受 } w \ \text {拒绝} & \text { 若 } M \text { 拒绝 } w \end{cases}$$。

然后再构造一个新的图灵机 ，$$D(\langle M\rangle)= \begin{cases}\text {接受} & \text { 若 } M \text { 拒绝 }\langle M\rangle \ \text {拒绝} & \text { 若 } M \text { 接受 }\langle M\rangle\end{cases}$$。

然而由于 是随便的一个图灵机，所以 可以替换成 作为 的输入：$$D(\langle D\rangle)= \begin{cases}\text {接受} & \text { 若 } D \text { 拒绝 }\langle D\rangle \ \text {拒绝} & \text { 若 } D \text { 接受 }\langle D \rangle\end{cases}$$。

观察这个式子： 拒绝 的条件下，反而要让 接受输入 ，这是一个矛盾。因此，图灵机 是不存在的。所以不存在能够判定语言 的图灵机。所以语言 是不可判定的。

为什么说这种证明是使用了对角化方法？因为可以用这张图来描述证明过程。

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当 在这里面，对角线上的 的就会产生矛盾，因为这个位置的值要与这一列上下划线标注的值相反，于是他就要跟自己相反~这…听起来就是个怪怪的矛盾。

由于队列自动机可以模拟图灵机，所以还可以推出：语言 也是不可判定的。

图灵不可识别语言 ​

定义一个语言如果是图灵可识别的语言的补集，那么这个语言是 补图灵可识别的（co-T-recognizable）。

定理：语言 是可判定的，当且仅当 与 都是图灵可识别的，即 既是图灵可识别的，也是补图灵可识别的。 正方向比较简单，下面考虑反方向的证明思路：构建图灵机 分别识别 ，再构建一个图灵机 判定 。 对于输入 ，并行的在 上运行 ，直到其中一个进入接受状态。如果 进入了接受状态就接受，如果 进入了接受状态就拒绝。因为对于任意一个串，要么在 里面，要么就在 里面，所以 和 当中一定会有一个接受，于是 就会停机。意味着 不会永远运行下去，是一个判定器。所以 是可判定的。

推论： 是图灵不可识别语言。因为 可识别但不可判定。

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封闭性 ​

推论：图灵可识别语言，在补运算下不封闭。 事实上，图灵可识别语言，除了补运算，全都封闭（并、连接、星号、交）。

  • 交：构建一个图灵机，含有两个子图灵机，当两个子图灵机都接受，才接受
  • 并：构建一个图灵机，含有两个子图灵机，当两个子图灵机有一个接受，就接受
  • 连接：非确定性的枚举所有的位置（ 个分割点），把串分成前后两部分，如果有一种枚举方案，两部分都接受了，就接受
  • 星号：类似连接运算，只是连接的方案更多罢

特殊的，对于可判定语言，在并交补连星五种运算下，全都是封闭的。

详细证明可以参考这份 公开幻灯片。