MIEC-NOTE

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Lecture 10. NP Complete NP 完全 ​

EXPTIME 指数时间类 ​

exp 是 exponential 的意思。

定义：，即所有在指数时间内可判定的语言的集合（集合的集合）。

故：。但是我们不知道 是否是更小的确定性时间复杂度类的子集。（怎么听起来有点像连续统假设呢？）

3-SAT 问题与 CLIQUE 问题 ​

首先定义 合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）：具有 形式的布尔表达式。其中每个括号包起来（子句，clause）的都用 连接，括号与括号之间用 连接。相当于数电当中学的 POS 形式。如果 CNF 是可满足的，那就意味着每一个子句当中，都至少有一个变量能取到真。

另外，定义 3CNF 表示每个从句都恰好含有 3 个变量。

最后定义：。

此外还有一个 团（clique） 的概念：k-clique 指的是一个图当中大小为 的完全连通子图。

。

定理： 多项式时间可归约到 ，即 。因为 是可满足的，当且仅当图 拥有一个 -clique。其中 是子句的数量。证明可以考虑分别从两个方向进行：

  • 充分性（）：若 可满足，意味着 的 个子句当中都至少有一个变量取真。那么把这 个变量抽出来，就可以形成一个 -clique。
  • 必要性（）：假如存在一个 -clique，由于每个子句当中的三个节点都互不连通，所以团当中的任意两点都不在同一个子句，所以团里的 个节点恰好来自 个不同的子句。直接把这 个变量赋值真（由于 与 之间没有连边，所以这样赋值不会产生 与 同时真的情况），这样这个 就可满足了。

这个证明完全没有用到 的性质，所以对于任意的 问题，都可以多项式时间可归约到 。

推论：。

NP-完全 ​

定义：若语言 且 则称 是 NP-完全 的。

也就是说，NP-完全类，像是一个标杆。

要证明某个问题是 NP-完全的，可以先证明这个问题是 NP 的，再找一个已知的 NP-完全问题，证明两个问题之间多项式时间可归约。

NP 完全类对于证明 有重要作用。

常见 NP 完全问题 ​

  • SAT 问题（库克-列文定理）
  • 3-SAT 问题
  • CLIQUE 问题
  • VERTEX-COVER 问题（顶点覆盖问题）
  • HAMPATH 问题（哈密顿路径问题）
  • UHAMPATH 问题（无向图的哈密顿路径问题）
  • SUBSET-SUM 问题（子集和问题）

HAMPATH 问题的 NP 完全性证明 ​

核心是证明 3-SAT 多项式可归约到 HAMPATH。

没学明白。考试不考。

UHAMPATH 问题的 NP 完全性证明 ​

先证明 NP 性：非确定性的选择一条路径，然后检查是否恰好包含所有节点各一次即可。

然后证明