Lecture 2. 非确定型有限状态机（Nondeterministic Finite Automata）
非确定型有限状态机（Nondeterministic Finite Automata，NFA）
新的性质：
- 每个状态的转移函数，可能有多个不同的取值
- 出现了 转移，free move（DFA 中不存在）
- 若存在任意一种路径到接受态，即认为接受这个 input
一个 NFA 是一个五元组 ，几乎跟 DFA 一样，只是有一点改变：
其中 是幂集。也就是说转移函数的值，在 DFA 中是一个状态，在 NFA 中是一堆状态的集合。
形象化的来讲，DFA 的每一步都是确定的，而 NFA 每一步可能有不少分支，如图。
NFA 到 DFA 的转换
定理：若 NFA 识别 ，则 也是正则的。（之前已知，若 DFA 识别 则 正则）
要证明这个定理，只需证明，每一个 NFA 都能转换成 DFA，即 NFA 和 DFA 具有等价性。
NFA 和 DFA 的等价性
若 NFA 中有 个状态，则与之等效的 DFA 中有 个状态。DFA 的每一个状态都对应着 NFA 当中的一个状态子集。
原先的起始状态是 ，起始状态和从起始状态通过 可以到达的状态合起来，只有 ，于是转换到 DFA 之后的起始状态就是：。
原先的接收状态是 ，则新的接受状态集，就是所有包含 的状态子集，即：，共四个。
观察规律得知，对于每一个转移符号，考虑当前 DFA 状态当中的每个元素对应的 NFA 当中的状态根据这个符号转移到的状态的集合的并集，就是 DFA 的下一个状态。如：对于状态 和符号 a，由于 NFA 中 可以从符号 a 转移到 ，而 可以转移到 ，则并起来就得到了 DFA 的下一个状态：。此外尤其注意 的特殊性：如果转移到了某个状态，这个状态可以通过 再转移到别的地方去，那么通过 能得到的也应该加入集合。
特殊的，对于 DFA 中没有入度的状态，可以直接删除。
正则表达式
定义：当 满足以下条件之一，则是正则表达式
- 是只包含字母表当中的一个单独符号的语言（如 ）
- （只包含空串的语言，即 ）
- （不包含任何串串的语言）
- ，其中 和 是正则表达式
- ，其中 和 是正则表达式
- ，其中 是正则表达式
通常，把 描述的语言记作 。若 表示正则表达式 描述的语言，那么 也是正则的。
正则表达式转 NFA
广义非确定型有穷自动机（Generalized Nondeterministic Finite Automaton，GNFA）
GNFA 与 NFA 类似，但是 GNFA 的转移符号可以是正则表达式。
为了方便起见，假设所有的 GNFA 均具有如下特性：（黑书 42 页，Slide2 第 16 页）
- 起始状态没有入度（不能被转移到）；且起始状态可以转移到其他任何一个状态
- 接收状态只有一个，且接收状态不等于起始状态；且接收状态没有出度（不能转移出去）；且接收状态可以从任何一个其他状态转移过来
- 除了起始状态和接收状态，每个状态有一个转移到自己的箭头）（不一定是 转移），且到任何一个其他状态都有箭头
DFA 到 GNFA 的转换
就描述能力而言，正则表达式与有穷自动机是等价的。因为任何正则表达式都可以转换成识别他的有穷自动机，反之亦然。
也就是说，DFA 能转化为正则表达式。从而，DFA 可以转化为 GNFA。
基于以上三点假设，很容易写出 DFA 转换到这种特殊 GNFA 的步骤：
- 添加一个新的起始状态，到原先的起始状态连接一个 ；原先的起始状态变成普通状态
- 添加一个新的接受状态，从原先的所有接受状态到新的这个接受状态连接一个 ；原先的接受状态变成普通状态
- 如果两个状态之间有多种不同的转移，则合并到并集，保留一个箭头
- 如果两个状态之间没有箭头转移，则添加一个 的箭头。注意，这条箭头永远不会被经过。所以这一步不会改变语言。
然而这个好像不是重点。
GNFA 再到正则表达式的转换（递归）
把 个状态的 GNFA 变成 个状态的 GNFA，然后递归。当这个 GNFA 只剩下起始状态和接收状态，那么箭头上面写的东西就是要求的正则表达式。
设现在的 GNFA 有 个状态，要构造一个含有 个状态的 GNFA。只需任意挑选一个状态（不能是起始或接受状态），把它删掉。
如图（删掉了 ，保留了 ，把被删状态 的自环做星号运算，然后按顺序连接起来，再跟原有的并起来）。
于是，DFA 可以转换成 GNFA 进而转换成正则表达式。
GNFA 的定义
GNFA（广义非确定型有穷自动机）是一个五元组 ，其中：
- 表示状态集，有穷
- 是字母表
- 是转移函数，其中 是字母表上所有正则表达式的集合。这个转移函数有一点怪，自变量是二元组，分别表示前一个状态和后一个状态；返回值是可以从这个前状态转移到后状态的正则表达式
- 和 顾名思义，分别是接受态和起始态
泵引理（pumping lemma）
能被 DFA 识别的，就是正则语言。不能被识别的，就是非正则的。
泵引理指出，所有的正则语言，都具有一种特殊性质。因此可以用泵引理证明语言的正则性。
泵引理（pumping lemma）
泵引理：对于任意的正则语言 ，存在一个数，叫做泵长度 ，使得 中任意一个长度大于 的字符串 都满足 ，其中：
泵引理的意思是说，语言中的所有字符串，只要 足够长（大于泵长度），就能够被抽取（pump）出来。抽取是指，在这个字符串当中，可以选取一段子串，重复任意次（得到 ），新串仍然在语言中。
考虑泵引理的证明思路。特殊情况下，若 ，显然成立。接下来分析 的情况。设泵长度 是 的状态数，即自动机 具有 个状态。假如转移了 次（），根据鸽巢原理（pigeonhole principle），至少有一个状态被访问了两次。即，存在一种路径，从一个状态，转移几次之后，又回到了这个状态。这就对应了上面 当中的 。同时， 也被满足。
证明语言非正则性
例一：证明语言 非正则（泵引理）
观察得知，语言 当中的所有字符串，一定具有同等个数的 0 和 1.
先假设 是正则语言。那么他就会满足泵引理。设 是泵长度。取字符串 。
根据泵引理的第三条限制 ，而 开头又恰好有 个 0，所以 只能含有 0，不能有 1；进一步推导出， 仅含 0 不含 1
于是 ， 等字符串中，随着 越来越多，0 就会越来越多（别忘了 ）0 的个数会比 1 多。所以这些串不在语言 当中，与泵引理矛盾。故 不是正则语言。
例二：证明语言 非正则（泵引理）
依然先假设 是正则语言， 是泵长度。注意到该语言的所有字符串，都是前一半和后一半相等的。取字符串 。
首先， 仅能由 组成，因为 ，而 的开头有 个 ，所以 不可能含有 。
于是 只能增加前一半串串的 的数量，后一半串串的 个数不变，于是前后 的数量不i一直。所以 ，所以 非正则。
bad case: ，这个串也是 的成员，但是能被泵出：只要找一个 的分割方法， 就可以左右两边各分配一半。
例三：证明语言 非正则（封闭性）
这个用泵引理很难证。
考虑正则运算的封闭性。已知 是正则的，所以 也是正则的，进而 是一个正则的语言。
前面例一已经证明过， 是非正则的。观察 容易发现，。若 正则，那么跟另一个正则语言求交，应该也是正则才对。所以 是非正则的。