Lecture 10. 密码学

公钥加密系统 Public-key Crypto-system

公钥加密系统的基本原理是：大素数很容易构造，但是把一个大数分解成两个大素数很难。

公钥加密系统有两个主要用处：

1. 对通信进行 加密（encrypt）。窃听人员无法 破译（decrypt） 被加密的信息。
2. 在电子消息的末尾附加 数字签名（digital signature）。消息的任意 bit 发生变化，都将导致签名失效，而签名无法伪造。

在公钥加密系统当中，每个人（比如 Alice、Bob）都拥有一个 公钥（public key） 和 密钥（private key）。每个密钥都是一段信息（对于 RSA，密钥是两个整数）。公钥是可以公之于众的，但是密钥必须保密，仅有自己知道。

函数

使用公钥或密钥可以构造出一个函数，这个函数是 one-to-one 的，定义域和值域都是 ，其中 是指允许表示的信息的集合（比如有限长度的二进制串）。one-to-one 是指，定义域当中的每个 都对应值域当中的一个 ，而 只能由定义域当中的一个 得到。

设 和 分别表示 Alice 的公钥密钥， 和 分别表示 Bob 的公钥密钥。它们构造的函数用 ，，， 表示。由于这些函数 one-to-one 的性质，这些函数是 的排列。由于密钥只有自己知道，所以在短时间内（可能几十年）， 函数只有 Alice 能够计算， 只有 Bob 能够计算。

这俩函数还满足一个性质，即 与 互为反函数，即 ，，这意味着对于任意一个消息 ，无论先 再 还是先 再 ，都可以回到自身。而公钥是公开的，密钥是保密的，加密系统应当保证，无法从公开的 计算出其对应的反函数 。

加密解密过程

对于发送私信

• 假设 Bob 想要给 Alice 发送一条消息 ，不希望被别人知道
• 那么 Bob 就可以用 Alice 的公钥 对应的函数 来对消息进行加密，通过某种渠道，把 密文（cipher text） 传送给 Alice
• 可能有人窃听得到了
• 但是由于从 解密得到 必须要由密钥 ，所以只有 Alice 能够知道 到底是什么

对于发布签名

• 假设 Alice 想要给 Bob 一个带有商业性质的正式承诺的答复，那么 Alice 就需要在消息 的最后附加一个签名
• 这个签名就是根据密钥对原始消息的加密信息，即
• 然后 Alice 把 和 一起发送给 Bob，注意这里的消息 是明文，所有人都可以看到
• 即便所有人都能看到这条消息，但是由于签名的存在，可以进行验证，即验证是否 。如果不满足，那就意味着消息被篡改了，无效；如果满足，那么就是有效的。
• 既包含了发布者对文件内容的确认，也包含了发布者的个人信息，所以类似于现实生活当中的签名

RSA

在 RSA 当中，创建公钥密钥的过程如下：

1. 随机选取两个不相等的大素数 和
2. 计算
3. 选取一个小的奇数 ，要求 ；由欧拉函数性质：
4. 计算 在模 意义下的逆元 ，可以证明 唯一存在
5. 公钥是 ，对应函数
6. 密钥是 ，对应函数

RSA 时间复杂度分析

假设 RSA 的公钥密钥计算都是用快速幂算法。

• 由于 很小，可以认为
• 由于 是模 意义下计算出的逆元，设 是 位的二进制数，那么
  • 计算 的时候，由于指数很小，只需要执行 次乘法运算，而位操作共有 次
  • 计算 的时候，由于指数 跟 规模差不多，乘法运算需要执行 次，而位操作还是 次

RSA 的安全性分析

如果可以把这个 分解出来，那么就可以得到 ，于是可以再结合公钥的 计算出 ，从而得知密钥。

越大越难被分解。所以应当尽量找到一千位以上的大质数。

补充：模意义下快速幂

CLRS 4 给出的是递归版

CLRS 3 给出的是二进制形式描述的迭代版

假设 都是 位的二进制数，这个过程需要 次乘法运算， 次位操作。