Lecture 3. Hash Tables 哈希表

哈希表是实现 字典操作（dictionaries）的高效的数据结构。

哈希表在最坏情况下，退化成普通的链表，查找的时间复杂度是 ；然而只要规划合理，查找操作可以达到 的平均时间复杂度。

像 Python 语言内置的字典（dictionary），就是用哈希表实现的。然而 Python 的字典是有序的，我觉得这可能会让时间复杂度退化到 级别。

直接寻址表 Directed-address table

当关键字的全域范围 不大的时候（比如 ），且键不重复，直接寻址是简单且高效的。

通常可以用一个数组（或称直接寻址表）来表示一个动态的集合，记作 。每一个下标（slot）都对应着 当中的一个键。

如图， 很小， 当中所有元素都对应着数组 当中的一个位置。数组 的每一个元素保存了键值对，或是空的：

对于直接寻址表，查找、插入、删除，都很简单，都是 的，伪代码如下：

然而，如果 非常大，比如 ，这种情况下，就无法使用直接寻址表了，因为内存不够。

但是，有一种可能的情况： 很大，但实际存在的键的集合 不大。那么，实际需要的内存，可能只是 的。这也避免了空间的浪费。

哈希表 hash table

哈希表就是，存储空间只需要 ，而效率仍然是 。

在直接寻址表当中，关键字 对应的元素，放在下标 的位置上；在哈希表当中，它在 的位置上。其中， 是哈希函数。这个 相对于 通常是非常小的。可以说 就是键 的哈希值。

但是如果哈希函数 设计的不好，可能会发生哈希 冲突（collision）。举个例子，假如 ，那么对于键 与 ，，他俩的哈希值相等。这样就会导致，这俩不同的键，映射到了同一个位置。

我们希望哈希冲突不存在，但这是不可能的，因为 ，根据抽屉原理，至少有两个键的哈希值相等。所以只能通过精心设计哈希函数，尽量的减少哈希冲突。然后找到一种方法，解决这种冲突。

链接法（chaining）

预备知识：实现链表的插入、查找、删除

这里的链表，就当他是双向的。

元素插入到头部：

已知键，查找元素：

已知键值对，删除元素：

假如只知道键，那就需要先查找到再删除了。

链接法的思想

也有的教材管这个叫做「十字链表法」。这是最简单的解决哈希冲突的方式。

链接法的思想是，每个位置，都是一个指向 链表 的指针。如果这个位置没有元素，那么这个指针就是空指针；如果有，就指向一个链表，这个链表保存了所有的被哈希到这个位置的元素。

这个链表可以是单链表（singly），也可以是双向链表（doubly）。下面图示当中的是双向链表，因为双向链表的删除操作更快。至于为什么更快，稍后分析。

链接法的实现

插入

插入是 的。因为插入是可以插在链表头部，而不是尾部，无需遍历链表。

查找

最坏情况下的效率是 ，这里的 指的是链表长度。

删除

双向链表删除元素是 的（假设已查找过），因为删除元素的函数，参数是 x 而不是 k，这个 x 包含了前驱节点、后继结点的位置，所以只需要执行：T[x.prePos].nextPos = x.nextPos 和 T[x.nextPos].prePos = x.prePos 即可实现删除。

对于单链表，如果要删除的元素不在链表的两端而在中间，就需要先找到前驱再修改前驱，这需要一次遍历，所以可能会很慢。

链接法的性能分析

插入删除都是 ，性能瓶颈在于查找，所以下面主要分析查找的性能。

假设哈希表 一共具有 个 slot、一共有 个元素需要插入表中。定义 的 装载因子（load factor） 为 ，即每个链的平均元素数量。

假设，每一个元素被哈希函数映射到每一个位置上的概率都是相等的，且每个元素的映射都相互独立，即：简单均匀散列（simple uniform hashing）。

用 表示第 个链表的长度。那么， 且 .

在一个链表当中寻找键 的元素，结果只有两种可能：要么找到了，要么没找到。

有两个定理

• 对于简单均匀散列的链接法，没找到，平均时间复杂度是
• 对于简单均匀散列的链接法，找到了，平均时间复杂度是

下面分别证明。

证明：简单均匀散列，链接法，没找到，平均时间复杂度是

没找到，那就意味着要从表头一直遍历到末尾，那么所花费的时间就跟链表的长度有关。由于 均匀地映射到 个位置，而 个位置的平均长度是 ，所以不成功的查找，加上计算哈希函数的消耗，所需平均时间复杂度是 。

证明：简单均匀散列，链接法，找到了，平均时间复杂度是

预备知识：指示器随机变量 indicator random variable

给定一个样本空间 和一个事件 ，那么事件 对应的指示器随机变量 定义为：