Lecture 5. Decidability 可判定性
与正则语言相关的可判定性问题
用语言 表示包含了所有 DFA 的编码以及 DFA 接受的串的编码。于是，DFA 能否接受输入串 ，等价于串 是否属于语言 。
定理： 是一个可判定语言，decidable。要证明，只需要构建一个判定器 。用自然语言描述这个判定器就算：对于输入 ，以 作为输入模拟 DFA ，若模拟以接受状态结束则接受；若以非接受状态结束则拒绝。证毕。
类似地， 也是一个可判定语言。毕竟 NFA 与 DFA 是等价的。要证明，只需要设计一个图灵机（判定器），把输入的 NFA 转换成 DFA，然后传给上一个问题的判定器 就好了。证毕。
类似地， 还是一个可判定语言。因为正则表达式可以转换成 NFA。那么要证明，只需要构造一个图灵机（判定器），把输入的正则表达式转换成与之等价的 NFA，然后再交给上一问的图灵机 ，让它转成 DFA，于是又回到了第一个问题。证毕。
综上，DFA、NFA 是否能识别一个串，以及正则表达式是否能派生一个串，这三个问题都是可判定的。
语言 ，表示 识别的语言是空的（不接受任何串）的 DFA 的编码的集合。相当于这个 DFA 从起始状态到接受状态，找不出任何的路径。只要又任意一条路径能从起始状态连接到接受状态，那么这个 DFA 接受的语言就不是空的。
定理： 依然是一个可判定的语言。这个图灵机（判定器） 和之前构造的那个判定无向图是否联通的几乎完全一样，只是变成了有向图而已。最后看看接受状态有没有被标记就好了。证毕。
语言 ，表示识别同一个语言的俩 DFA 的编码的集合。若两个 DFA 识别相同的语言，则 。也即是说，这个语言表示 是否识别相同的语言。
定理： 还是一个可判定的语言。证明思路是：如果 和 不相等，那么一定能分成两种情况，一种是 包含但 不含，另一种就是 不含但是 包含。于是，判定器 要做的就是：把这两种情况并起来，得到 。然后，只需要在判定器 上面执行 ，即看看 是不是空语言。如果是（即 接受了 ，那就说明 ），那么 接受，否则拒绝。
乔姆斯基范式 Chomsky Normal Form
乔姆斯基范式，就是所有的替换规则都要么是 要么是 的形式。也就是说，所有替换规则都是一个变元变成俩，或者一个变元变成终结符的形式。此外，允许存在 的规则，但是 不能是起始变元。
定理 1：每一个 CFG 都可以转换成乔姆斯基范式。
定理 2：如果 在 CNF 当中，且 ，那么所有 的派生过程，都需要 步。可以用语法分析树来辅助理解。
与上下文无关语言相关的可判定性问题
语言 。一个 CFG 是否能派生字符串 ，等价于 是否属于语言 。
定理：语言 是可判定的。证明思路是：先把 CFG 转化为乔姆斯基范式的形式；然后尝试一遍所有步骤为 的派生过程，如果任意一个能成功派生 则接受，否则拒绝。
语言 。
定理：语言 是可判定的。证明思路是，把 CFG 想象成一个语法分析树。从叶子节点（终结符）开始，反向找连通块。就像之前标记无向图连通分量一样。如果最终起始变元被标记了，那么就意味着起始变元能达到任意一个终结符，意味着这个 CFG 产生的语言非空，则拒绝。如果起始变元没有被标记，意味着无法产生任何的串，接受。
语言 。
定理：语言 不是可判定的！因为 CFL 在交补运算下不封闭，所以不能用之前 的思路证明出可判定性。习题 5.1 要求证明该语言不可判定（Lab 5）。
语言 。
定理：语言 不是可判定的！
语言 。
定理：虽然语言 不是可判定的，但是，这个语言是图灵可识别的！ 证明思路是设计一个图灵机 ，在输入串 上面模拟 ，若 以接受状态结束则 接受，若 永远运行或者进入拒绝状态则 也拒绝。
上面的这个图灵机 又叫做通用图灵机（universal），因为它可以模拟任何其他的图灵机。
由此可见，「可判定」比「图灵可识别」更加严格。
