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整数无符号加法

定义表示两个范围内的整数相加，将结果截断为位，且视为 无符号 整数。正常运算情况下，即时，；但如果发生了溢出，即的时候，，相当于自动对于取模。

对于范围内的和，执行无符号加法，令，当且仅当运算结果（或）发生了溢出。

考虑位无符号数的集合，执行运算。对于每个值，必然存在某个值满足。这个就是相反数（逆元）。当时，对应的。当时，，因为：

定义表示两个范围内的整数相加，将结果截断为位，且视为补码数。

简单地说，当的结果达到或者超过了，就是正溢出，要把结果减去。如果的值连位补码表示的最小整数值（）都达不到，就是负溢出，要加上。

实际上，大多数计算机使用同样的机器指令来执行无符号或有符号加法，因为补码加法和无符号加法有相同的位级表示。所以，计算两个有符号（补码）加法，完全可以先把两个数当成无符号的，执行无符号加法，再将结果当成补码。经过一番推导，得到：。

对于范围内的和，执行无符号加法，令：

考虑两段简单的 C++ 代码：

cpp

int x  = -2147483648;
int y = x + x;
std::cout << y << "\n";
// output result is 0, not -4294967296

cpp

int x  = -2147483648;
int y = -x;
std::cout << y << "\n";
// output result is -2147483648, not 2147483648

也就是说，对于（位补码能表示的最小整数），其补码的非（位取反）是自己本身。也就是指，自己加上自己，结果为。

其实，本身补码的反，也是，然而由于发生了溢出，所以最后又变成了自己本身。

而补码表示系统当中，一个数的相反数，相当于补码位取反再加上一。所以，在 C/C++ 语言中，表达式 -x 与 ~x+1 是完全一样的。

由于溢出，无符号整数每一步运算，都相当于对自然溢出取模。所以：。

与整数的补码加法类似，依然是先把两个数当成无符号的，执行无符号乘法，再将结果当成补码：。

两个位数的乘法，产生结果最大可能需要位表示。所以不是很容易搞溢出检测，但依然可以。CSAPP 把这个问题当作习题。

CSAPP 指出，编译器会转化为左移和加法的组合。