Chapter 4 概率分布
一些概念
随机变量 Random Variable：是一个函数，对每个输出指定一个数值。比如抛硬币，正面指定是 ，反面指定是 。
概率分布 Probability Distribution：随机变量等于某一个数值 的概率，就是概率分布。比如 .对于离散变量的分布，可以画表格表示。概率分布一定满足 .
结合使用随机变量和概率分布，能把现实生活中的问题转换成数的问题。
定义大写 . 这个叫做 累积分布 cumulative distribution，就跟前缀和似的。
因为 离散 的累积分布像是前缀和，所以 而不是 ！如果是连续的，那就无所谓了。
概率分布画图有两种，一种是 柱状图 histogram（左），另一种是 bar 图（右）。
二项分布 Binomial Distribution
注意，二项分布不是伯努利分布。伯努利分布就是二点分布（）。二项分布相当于二点分布重复 次。
首先考虑 伯努利试验 Bernoulli trials，它满足以下条件：
- 每一个试验只有 两个输出。比如抛硬币
- 不管是第几次试验，两个输出的 概率都是恒定的，一个概率恒定是 ，另一个恒定是 ；也就是说每次试验概率保持一致。比如抛硬币
- 每一次试验之间是 独立 的，互不影响。比如抛硬币
在本节课中，额外加入一个条件：固定 次。
定理：二项分布，进行 次伯努利试验，每次成功概率是 ，那么恰好成功 次的概率是 , 其中 ，。
定义大写 ，其中 ，。相当于前缀和。
备注：假设检验：统计上，一般以 作为界限。若根据某断言计算出概率小于 ，则一般认为断言是错误的，因为概率低的事件一般不会在偶然试验当中发生。
期望与方差
随机变量 的平均值（期望值），记作 或 ，定义为：；而随机变量 的 方差（variance） 记作 ，定义为：