Lecture 9. The Class NP NP 类

非确定性复杂度

定义：如果一个非确定性图灵机，对于任意长度为 的输入，所有的分支都会在 步骤内停机，那么这个非确定性图灵机（NTM）就是 时间的。简而言之，所有的分支对所有的输入停机。

定义：。

定义：，也就是所有的非确定性单带图灵机在多项式时间内能够判定的 语言 的集合。

对于合理的非确定性计算模型， 是不变的。

NP 问题举例

哈密顿路径问题（NP）

"对于输入 ：

1. 设图中一共有 个节点
2. 非确定性的写下一个长度为 的数列，，代表 个节点
   1. 如果 ，， 互不相等，且 ，就接受
   2. 任意一个检查条件不满足，这个分支就拒绝"

思考： 吗？答案是：不知道。有人认为，之前拒绝的操作换成接受，接受的操作换成拒绝，就可以了，其实不行。因为简单的把非确定性机器的响应翻转，并不能识别原问题的补。

合数问题（NP，也 P）

。下面证明 。

" 对于输入 ，

1. 非确定性的选一个 当中的一个整数
   1. 若 则接受，否则这个分支拒绝"

事实上，有数学家证明过， 也是同时成立的。

NP 与 P 的关系

• NP：成员资格可以多项式时间内验证（verify）的语言类。比如对于哈密顿路径的存在性问题，我只要随便给出一条哈密顿路就可以；对于是不是合数的问题，我只要随便给出一个因子就可以。
• P：成员资格可以多项式时间内判定（determine）的语言类。要求更高一点。

通常认为 。

• ？不知道。有的同时属于 和 了，但所有问题都既 又 吗？
• ？不知道。因为 太强大了，可能有一个问题暂时没有找到 的解法，只是因为人脑比较笨。相当于可能有一个爆搜算法，明明可以优化，可是人类太笨了，想不出来怎么优化。

回忆一下 NFA 转 DFA，状态数变成了 个，也就是变成了指数级别。所以现在已知的是，。

验证机 verifier

定义：语言 的 验证机（verifier） 是一个算法 ,这里 。这里的 是一个额外的信息，称为 证书（certificate）。验证机通过 来验证输入的字符串 是否是 的成员。对于上面哈密顿路和合数问题，证书分别是随便一条哈密顿路和随便一个因子。

多项式时间验证机（polynomial time verifier），在 的多项式时间内运行。若语言 拥有一个多项式时间验证机，那么这个语言就是 多项式可验证的（polynomially verifiable）。对于多项式验证机，证书具有 的多项式长度。

有定理表明： 是具有多项式时间验证机的语言类。

还有定理表明：一个语言是 NP 的，当且仅当他能被某个非确定性多项式时间图灵机判定。

既 NP 又 P 问题举例

1.

之前已经证明过 是可判定的。转化为乔姆斯基范式之后，可以证明它是 的。大致思路是，对于输入 ，把 转换成乔姆斯基范式，非确定性的选择（随便猜）一个长度为 的派生过程，看看这个派生过程能否派生出串串 。（回忆一下，之前证明这个语言可判定是枚举了所有的派生过程）。因此，。

2.

想不到竟然还是 吧？证明在中文课本 183 页。

最初先设计了一个普通递归（爆搜），但是时间复杂度不对，于是再改成记忆化搜索（动态规划）。

"对于输入 ，

1. 如果之前已经算出了对于 的值，就直接返回
2. 对于每个 和每一个变元 ，检查是否存在替换规则 ，把结果存储到 里。相当于代码实现的 dp 数组初始化。
3. 从 依次枚举子串的长度（）
   1. 然后枚举左端点 ，设右端点 ，得到所有长度为 的子串。（）
      1. 从 枚举断点 把当前字串 分割成 （）
         1. 对于每一个替换规则 ，若 和 都真，则把 设为真。这一步的时间复杂度仅与 CFG 的规则数有关，是常数。
4. 最终，设 是起始变元，检查 是否为真。如果是，则接受。否则拒绝。"

这个算法的时间复杂度是 的。所以 。

由于 CFG 和 CFL 等价，所以如果 ，也能推出 。

多项式可归约性

可满足性问题（SAT）satisfiability problem

布尔代数的三种符号：（与），（或），（非）。

定义：对于布尔表达式 ，如果可以分配给每个变量一个值使得 ，则称这个 是 可满足（satisfiable） 的。

定义语言 。显然，。因为可以找到一个证书（一组赋值），然后在多项式时间内验证（直接求值）。之后将证明 还是 NP 完全的。

曾有科学家指出，若 ，则可推出 。因为所有的 NP 问题都可以多项式时间归约到 ，就像所有的图灵可识别语言都可以映射规约到 一样。所以一旦证明了 ，就可以利用归约的性质，推出 。然而到目前为止，既不知道 还是 。更确切的说， 当且仅当 。

多项式可归约性

定义：若 ，且这个可计算归约函数可以在多项式时间内完成计算，那么 就是 多项式可归约（polynomial time reducible） 到 的，记作 。

定理：若 且 则可推出 。如图， 是多项式时间内可计算的函数：