Lecture 4. Turing Machines 图灵机
图灵机与有穷自动机的区别
- 图灵机既能读也能写
- 图灵机的读写头，可以向左右两边移动（但是只能挪一个格子）
- 图灵机的带子长度无限
- 图灵机进入接受状态或拒绝状态则立即停机
- 图灵机在任意时刻都可以进入接受或拒绝状态，不一定是要在输入结束的时候
图灵机形式化定义
图灵机是一个七元组 ，其中， 都是有穷集，且：
- 是状态集
- 是输入字母表。特殊空白符号
- 是纸带的字母表。输入字母表是纸带字母表的子集，即 且特殊空白符号 （于是应该能推出 ）。
- 是转移函数。即：当机器处于状态 ，读写头所在的带子位置的符号是 ，则当 时，机器写下符号 来取代 ，进入状态 ，并让 读写头 向左或者向右移动。更进一步：如果要弄一个非确定性的图灵机，把转移函数改成 ，也就是像 DFA 到 NFA 或者 PDA 到 NPDA 的转变一样，弄一个幂集出来，这样每一步的转移都可以是一个集合，意味着有多个分支。
- 是起始状态， 是接受状态， 是拒绝状态，且
初始状态下，图灵机带子上从左到右前 个格子填写了输入串 ，其余部分保持空白。然后读写头从最左边的位置开始移动（根据转移函数描述的规则）。如果读写头已经处于最左边但是还有向左移动的指令，则停在原地不动。一旦进入接受状态或拒绝状态则立即停机（halt），否则永远持续运行（永远运行，即永不进入接受状态，相当于拒绝了）。
不过图灵机的这种形式化定义显得太麻烦了，所以有时候直接用自然语言描述会更简单。比如，刚刚证明过的 不是 CFL，这里设计一个图灵机来识别它。这个图灵机的工作流程可以用自然语言描述如下：
- 从左到右读完整个输入，直到遇到第一个 代表输入结束。读的时候检查这个读入是否是 的形式。如果不是，立即拒绝
- 读写头回到左端点
- 从左往右扫描。将第一个 划掉（即用 来代替，不是擦除）：
- 如果替换的 都是最后一个，则进入接受状态
- 如果 当中，有的是最后一个，有的不是最后一个，意味着数量不相等，进入拒绝状态
- 如果 都还有剩余，则重复这个过程
一点新概念
图灵机 接受的字符串的集合，就是被 识别的语言，记作 。
如果一个语言能被图灵机识别，则称这个语言是 图灵可识别的（Turing-recognizable）。此外，一个语言是图灵可识别的，当且仅当存在一台 队列自动机（queue automaton） 识别（类似下推自动机，栈换成了队列）它。此外，还有的课本，把图灵可识别的语言称为递归可枚举语言，因为一个语言是图灵可识别的，当且仅当它是递归可枚举的。
如果一个图灵机对于任何输入，都永不无限运行，则这个图灵机称为 判定器（decider）。假如判定器 可以识别语言 ，则称 判定 。如果一个语言能被某个判定器判定，则称这个语言是 图灵可判定的（Turing-decidable），简称 可判定的（decidable）。
图灵可判定比图灵可识别的定义更加严格，因此图灵可判定的语言的集合，是图灵可识别的语言的集合的子集。同时，CFL 也是图灵可判定的集合的子集，正则语言是 CFL 的子集。
这张关系图会在「可判定性」章节中继续讨论。
格局
图灵机有一个新的概念叫做 格局（configuration），是指（当前状态、当前纸带内容、读写头位置）三者的结合。
格局可以用 表示： 表示当前状态， 是当前纸带上的字符串（即 连接 ），当前的读写头在 的第一个符号的位置， 以后的内容全都是空白符。
比如格局： 表示：当前纸带内容是 ，状态是 ，读写头位于第二个出现的 上。
如果图灵机能合法的从格局 一步进入格局 ，则称格局 产生（yields） 格局 。
一个图灵机 接受输入 的条件是，存在一个格局的序列 ，满足以下条件：
- 是 对于输入 的起始格局（）
- 产生
- 是接受格局（）
图灵机示例
语言 ，即所有长度是 的幂的仅含 的串串。
识别这个语言的图灵机的自然语言描述如下：
- 从左往右扫描，每隔一个字符就划掉一个零
- 如果一个零都划不动，说明是 的形式，接受
- 如果划完一遍之后，剩下奇数个零，拒绝
- 返回左端点，重复前三步
- 既是起始状态，也类似递归的终止条件：必须遇到至少一个，否则直接拒绝；一旦遇到 就进入
- ： 这个状态没有确定的是奇数还是偶数。第一次走到 状态意味着当前已经遇到了确切的一个 ，所以不停往右边走，如果被叉掉了就跳过，一旦遇到 就进入偶数状态 ；遇到右端点说明 的个数是恰好一个，符合递归终止条件，接受。如果是从 回来的，这时候 的状态就变成了偶数个零，因为 是从 来的。
- ： 是已经遇到偶数个 的状态， 是奇数个 的状态，两个奇偶互补，每隔一个 叉掉一个，同时右移； 如果叉掉一个之后遇到右端点则进入 ， 遇到右端点说明 的个数不是偶数，拒绝
- ： 不管读到什么东西，都一直往左边跑，直到回到最左端点，进入 状态
格局表如下。要记得格局的表示形式： 后面紧跟的才是当前读写头的位置。
图灵机的变形
多带图灵机 Multi-tape Turing Machine
转移函数发生变化。对于 条纸带的图灵机，转移函数是：，其中 是 stay 的意思，就是保持不动。也有的教材认为 ，就是必须挪走。
定理：每一个多带图灵机，都等价于一个单带图灵机。也就是可以用一个单带图灵机去模拟多带图灵机。
单带图灵机当中，用 来作为分隔符（delimiter），分割所有的纸带；头顶上有一圆点的表示每个纸带的读写头所在的字符。
然而单带图灵机的控制器 S 会比多带图灵机的控制器 M 麻烦不少。
推论：一个语言是图灵可识别的，当且仅当存在一个多带图灵机识别它。
非确定性图灵机 Nondeterministic Turing Machine
转移函数变成了：，幂集表示非确定性。
像 NFA 一样，非确定性图灵机的计算过程，也可以想象为一棵多叉树。不仅如此，每个非确定性图灵机和确定性图灵机也是等价的，即：每个非确定性图灵机也可以转化为一个确定性图灵机（状态个数变成 2 的幂）。
下图表示用确定性图灵机模拟非确定性图灵机。
推论：一个语言是图灵可识别的，当且仅当存在一个非确定性图灵机识别它。
推论：一个语言是可判定的，当且仅当存在一个非确定性图灵机判定它。
枚举器 Enumerator
枚举器就是附带了一个打印机的图灵机。打印机相当于一个输出设备。
枚举器的工作过程：
- 以空白输入的纸带开始运行
- 如果不停机，可能会打印出来无限多个串
- 枚举器 所枚举的语言是最终打印出的所有串串的集合
- 生成的串是任意顺序的，可能会有重复
定理：一个语言是图灵可识别的，当且仅当存在一个枚举器可以枚举它。
要证明当且仅当，需要从两个方向证明。
首先正向证明：如果有一个枚举器 枚举语言 ，则能找到一个图灵机 ，识别这个枚举器枚举的语言。这个图灵机 是这样的（对于输入串 ）
运行枚举器 。每当 打印了一个串，则与输入比较
一旦找到相同的，就接受
于是很显然的， 接受所有能被 打印的串。证毕。
然后反向证明：如果有一台图灵机识别语言 ，则能找到一个枚举器 可以枚举 。这个枚举器的构造如下（忽略掉输入串）：
假设 是所有可能的串串，对于 ，重复以下步骤：
对于 当中的每一个， 以其作为输入串，运行 步。这大概是为了避免图灵机死循环
如果有计算接受，则打印出相应的
刚才这一坨看起来很麻烦，反正大概意思就是对于所有串串都运行一下图灵机 ，接受的全都输出
算法的定义
丘奇使用称为 演算（-calculus）的记号系统（notation system）来定义算法，图灵用图灵机来定义算法。这两个定义事实上是等价的。这两者之间的联系，叫做 丘奇图灵论题 Church-Turing Thesis。
令 ，希尔伯特第十题要求设计一个算法，检测一个多项式是否具有整数根，相当于提问： 是否是可判定的。答案是，不存在检测多项式是否具有整数根的算法，因此 不可判定。然而， 是图灵可识别的。
先考虑简单的情形。令 ，下面设计一个图灵机 识别 ：
- 的输入是一个关于变量 的多项式 ，注意多项式是可以用字符串的形式来表示的
- 将 赋值为 ，不断地检查是否满足 。如果满足，就接受。否则继续。
于是图灵机 就设计出来了，因此 是可识别的。然而这个图灵机可能会无限运行下去，因此不符合判定器的定义，于是 不是可识别的。
假如多项式 的变量个数不止一个，那也是类似，反正就不停的赋值然后试一下~
描述图灵机的术语 Terminology for Describing Turing Machine
描述图灵机有三种不同的级别。
- 最低等级是形式化的描述，就一堆数学式子，写出状态和转移函数，不过是最详细的
- 中档等级，称为 实现描述（implementation description），就是用自然语言描述图灵机怎么移动啊、怎么存储数据啊之类的，不指定状态和转移的细节
- 最高等级，是 高层次描述（high level description），同样是用自然语言来描述，但是连实现的细节都忽略了，也就是不提及如何管理纸带和读写头，相当于描述了一个算法
图灵机的记号
图灵机输入的都是字符串。如果要以其他对象（比如多项式、图）作为输入，就需要编码成字符串。
对象 的字符串编码，用 表示。例如： 表示一个语言，包含所有的联通的无向图的编码串。
这里可以使用的无向图的编码格式是：(节点列表)((边), (边), (边), ...))
判定无向图是否联通的图灵机（判定器）的高层次描述是：
- 标记节点列表当中的第一个节点
- 重复第三步，直到无法再标记新的节点
- 任选一个节点，如果这个节点的一条边连接到一个已经被标记的节点，就把这个节点也标记上
- 检查，是否所有节点都被标记过。如果是，则接受，否则拒绝。