Chapter 7 关于均值的推断
只知道样本的，不知道总体的，用样本的对总体的进行推断和估计。
The two main classes of statistical inference are estimation of parameters and testing hypotheses（参数估计（包括点估计、区间估计）、假设检验）
点估计：均值
根据 ，可以得到 ，这个值就是估计的总体均值 ，这个估计的标准误差是 。
最大估计误差 maximum error of estimate
根据中心极限定理，有 $$Z=\frac{\overline X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$$。要让服从标准正态分布的 落在区间 内，通过化简得到：$$\left|\overline X - \mu\right| \leq z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$，于是，$$\boxed{E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$，即 $$\mu-E \leq \overline X \leq \mu+E$$。
二级结论： 未知的情况
如果 未知且 比较大，那直接用 代替 就好了。但是如果 不是很大，也可以用 代替 ，但是要把 分位点改成 分位点：$$E = t_{\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$$。
二级结论：样本要多大？
要满足 ，需要满足样本大小 ，把之前 的公式移项化简一下，得到 至少要是：$$n_{\min} = \left(\frac{\sigma\cdot z_{\alpha/2}}{E}\right)^2$$。
无偏估计
无偏性、有效性
知道有这么回事儿就行了（稀里糊涂的）
当且仅当 则称这个 的估计是无偏的，其中 表示估计量，即对 的估计值。大概意思就是估计的值恰好就是真实值，比如
若有两个估计都是无偏的，那么方差小的那个就是 更好（more efficient） 的。
区间估计：均值
置信区间 confidence interval
对于较大（）的样本，若总体标准差 已知，则 的置信区间是：$$\boxed{\left(\bar{X}-z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{X}+z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)}$$。换句话说就是， 落在这个区间里面的概率是 。
如果总体标准差 未知，且样本较大，可以用样本标准差 代替。
如果总体标准差 未知，且样本不够大（），用样本标准差 代替之后，还要把正态分布 换成 ：$$\left(\bar{X}-t_{\alpha / 2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{X}+t_{\alpha / 2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$。
极大似然估计 maximum likelihood estimate
只要出现了，极大似然估计就认为，这个出现的概率很高。
从简单例子开始：抛硬币
假如有一个硬币（不一定均匀），抛出四次，三次正面朝上。设单次正面朝上的概率是 。
根据伯努利分布，三次正面朝上的概率是 ，把这个函数的图像画出来
极大似然估计就是，找出这个函数图像最大值（求导之后就知道最大值是多少了）。最大值对应的点，就是估计的 的值（在本题中，）
更一般的情况
有一个跟参数 相关的概率密度函数 ，（ 就像是刚刚例子里面的 ）。
把 分别代入 ，用函数 再构造一个极大似然函数 ：$$L\left(\theta \mid x_1, \cdots, x_n\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right)$$，极大似然估计就是指，找到一个 的取值，让这个函数 （一堆 的乘积）取得极大值。
没太懂。会做题就行
例子：再抛一次硬币
进行了 次抛硬币，每次都是 的概率正面朝上。第 次是否朝上，用随机变量 表示：$$P\left[X_i=0\right]=1-p, \quad P\left[X_i=1\right]=p$$，然后左右两个式子合起来，变成了 $$P(X_i=a)=p^a(1-p)^{1-a}$$，代入极大似然函数 ，得到 $$L(p\mid x_1,\cdots,x_n)=p^{x_1+x_2+\cdots+x_n}\times(1-p)^{n-(x_1+\cdots+x_n)}$$，现在就是要找到一个 ，使 取到最大值。由于有幂次，这个函数 取对数之后再求导 比较好算。令取对数后的导数等于零：$$\frac{x_1+\cdots+x_n}{p}-\frac{n-(x_1+\cdots+x_n)}{1-p}=0$$，最终能得到 使函数 最大。
- Note 1: 这里极大似然估计的对象是 ，而不是
- Note 2: 巧合的是，课件上给出的例题（7.8~7.13）几乎算出来答案都是
二级结论
- 对于正态分布，，，具体的推导过程可以看例子 7.10 和例子 7.11
- 若 是 的极大似然估计，有一个 one-to-one 的函数 ，而那么 就是 的极大似然估计
假设检验
- 第一类错误，就是原本假设是对的，但拒绝了（主要讨论这一类）
- 第二类错误，就是原本假设是错的，但没拒绝（牵涉真实值，反正比较复杂，参考课件 24 页的图）
发生第一类错误的概率，也叫做 显著性水平（level of significance），通常 或 ，看题目指定。
两类错误是跷跷板的关系，一类的概率大，另一类概率就会小。
假设检验步骤
- 确定好原假设和备选假设
- 说明显著性水平
- 基于样本的分布，构造一个关于原假设和备选假设的判别
- 计算出决策所依据的统计量的值
- 决定是否拒绝假设
注意，原假设不能用「接受」这个词，而应该说「不能拒绝」
原假设 null hypothesis
- 用 表示
- 还有个叫做 备选假设 alternative hypothesis 的东西，总是与原假设成对出现
- 一旦原假设被拒绝，就认为备选假设成立
- 备选假设有两种，单边假设（one-sided）与双边假设（two-sided）
- 单边就是大于或小于
- 双边就是不等于
对于原假设 以及 ，可以得出这样一个表格：
结合例子比较好理解
选取原假设的 guidelines
若一个实验的目标，是建立一个断言，那么原假设应该选取为，断言的否定；备选假设应该是该断言。
P 值
P 值（P value）就是 当原假设为真时，比所得到的样本观察结果更极端的结果出现的概率。说白了就是分位点后面的面积呗。
注意看清楚是单边假设还是双边假设。
用处： 则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。
例题 7.16
首先算出来 ，这是必须步骤
法一
根据显著性水平算出来那个边界 -2.326（=NORM.S.INV(0.01)），然后 Z 比这个边界更小，所以拒绝原假设
法二
计算 P-value，算出来 P 值约为 0.0086（norm.s.dist(-2.38, true)），小于显著性水平 0.01，所以拒绝原假设